Le blog d'Olivier Lamy

  Le jeu de Wythoff est une variante du jeu de Nim, inventée par Willem Abraham Wythoff. La position de départ consiste en deux tas d'objets (des allumettes par exemple). A tour de rôle, chaque joueur retire un nombre quelconque d'objets de l'un des tas, ou bien le même nombre d'objets de chacun des tas. Celui qui ne peut plus jouer est le perdant. Une variante équivalente de ce jeu consiste à déplacer un jeton à tour de rôle sur un damier, soit vers la gauche, soit vers le bas, soit le long d'une diagonale vers la gauche et le bas. Le joueur atteignant la case inférieure gauche a gagné.  L'illustration en tête de cet article indique les positions gagnantes selon cette représentation du damier. Si le pion de votre adversaire n'est pas sur l'une de ces cases à la fin de son coup, alors vous disposerez d'un mouvement qui vous place sur une position gagnante. Et à la finale, vous atteindrez la case en bas à gauche qui est l'ultime position gagnante

  Vous pouvez décomposer le chiffre 3 de trois manières : 3 = 1 + 1 + 1  3 = 1 + 2 3 = 3 Le chiffre 4 offre cinq possibilités : 4 = 1 + 1 + 1 + 1 4 = 1 + 1 + 2 4 = 1 + 3 4 = 2 + 2 4 = 4 Chacune de ces décompositions s'appelle une partition. Saurez-vous dire quel est le nombre de partitions de 6 ?   Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent aller plus loin : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Partition_d%27un_entier https://oeis.org/A000041

  Le dendromètre est un appareil qui sert à mesurer la hauteur des arbres. Le schéma vous paraît-il clair ? Pas tant que ça, n'est-ce pas ? Je ferai sans doute un autre post pour expliquer le principe. Je vous laisse méditer là-dessus...

  La conjecture de Catalan est un résultat conjecturé en 1844 par Eugène Charles Catalan et démontré en avril 2002 par Preda Mihăilescu. Elle dit que la seule solution en nombres naturels de l'équation  x a − y b = 1, pour x, a, y, b > 1,  est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3 En d'autres termes, les seules puissances consécutives de l'univers sont 8 et 9 (2 3  et 3 2 ). Ça a l'air simple, dit comme ça, mais la démonstration est extrêmement complexe. Je vous laisse méditer là-dessus...

  L'une des plus grandes méprises à propos des mathématiques, que nous perpétuons dans nos salles de classe, c'est que le professeur semble connaître la réponse de tous les problèmes qui sont traités. Cela donne l'impression à l'élève qu'il y a quelque part un livre contenant toutes les réponses des questions intéressantes, et que les professeurs connaissent ces réponses. Et que si nous pouvions mettre la main sur ce livre, tout serait réglé. C'est tellement contraire à la vraie nature des mathématiques.  Léon Henkin Je vous laisse méditer là-dessus...

  Une règle de Golomb, appelée ainsi en l'honneur du mathématicien Solomon W. Golomb, est une règle munie de marques à des positions entières, telle que deux paires de marques ne soient jamais à la même distance ; en d'autres termes, chaque couple de marques mesure une longueur différente des autres.  Sur l'image plus haut, on peut mesurer les distances 1, 2, ..., 6 et aucune autre. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent aller plus loin : https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_Golomb

  La règle à calcul (ou règle à calculer) est un instrument mécanique qui permet le calcul analogique et sert à effectuer facilement des opérations arithmétiques de multiplication et de division ar simple déplacement longitudinal d’un coulisseau gradué. Elle utilise pour cela la propriété des fonctions logarithmes qui transforment un produit en somme et une division en différence. Elle permet également la réalisation d'opérations plus complexes, telles que la détermination de racines carrées, de cubiques, des calculs logarithmiques ou trigonométriques. Mon frère a appris à s'en servir au lycée. Pas moi, et dans le même lycée. Moins de trois ans nous séparent. J'ai dû suivre son enseignement. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent en savoir plus : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_%C3%A0_calcul

  Le soroban est le boulier japonais. Il comporte le minimum de boules nécessaires pour faire des opérations très rapidement, à condition de connaître ses tables de multiplication et d'être entraîné. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent en savoir plus : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Soroban

Dans le domaine de l'homéopathie, il y a plusieurs manières de calculer la dilution du produit actif. Le système "CH" en est une. Cette phrase... " Entre la 11 e CH et la 12 e CH, il n’y a plus qu’une molécule de la substance de départ dans la préparation. Au-delà de 12 CH, la solution contient donc moins d’une molécule du produit actif" ... est extraite de cet article : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Dilution_hom%C3%A9opathique Je vous laisse méditer là-dessus et en tirer les conclusions qui s'imposent... Pour ceux qui veulent aller plus loin : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9moire_de_l%27eau https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Hom%C3%A9opathie

  La pascaline, initialement dénommée machine d’arithmétique puis roue pascaline, est une calculatrice mécanique inventée par Blaise Pascal et considérée comme la première machine à calculer. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent en savoir plus : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Pascaline

Une bonne partie des mathématiques devenues utiles se sont développées sans aucun désir d'être utiles, dans une situation où personne ne pouvait savoir dans quels domaines elles deviendraient utiles. Il n'y avait aucune indication générale qu'elles deviendraient utiles. C'est vrai de toute la science. John Von Neumann Je laisse méditer là-dessus...

Une bille arrivera plus vite en bas si elle roule sur la courbe rouge plutôt que sur le plan incliné bleu. Elle arrivera plus vite aussi si elle tombe directement et rebondit vers la droite mais toujours moins vite que sur la courbe rouge qui est la plus rapide . Je vous laisse méditer là-dessus... Pour en savoir plus : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Courbe_brachistochrone

  Nous entendons souvent dire que les mathématiques consistent à "prouver des théorèmes". Le travail d'un écrivain serait-il "d'écrire des phrases" ? L'œuvre d'un mathématicien est surtout un enchevêtrement de conjectures, d'analogies, de souhaits et de frustrations ; la démonstration, loin d'être le noyau de la découverte, n'est souvent que le moyen de s'assurer que notre esprit ne nous joue pas des tours. Gian Carlo Rota Je vous laisse méditer là-dessus...

  S'il y a "peut-être du danger", alors il y a du danger. Je vous laisse méditer là-dessus...

Étant donné un ensemble fini de points du plan tels qu'au moins trois points ne soient pas alignés, il existe au moins deux points qui ne sont alignés avec aucun autre. À vos crayons, et testez ! Je vous laisse méditer là-dessus... Pour aller plus loin : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Sylvester-Gallai

  Si m est la masse d'un sauteur à la perche, et si v est sa vitesse à la fin de sa course d'élan, alors il aura, juste avant le saut, une énergie cinétique E c = 1/2 mv 2 Si h est la hauteur de son saut, son énergie potentielle au sommet sera E p = mgh où g est l'accélération de la pesanteur (9,81 m/s 2 ) En supposant qu'il transforme toute son énergie cinétique en énergie potentielle, on a : 1/2 mv 2 = mgh  et donc h = v 2 /2g Un sprinter très performant court à 10 m/s En prenant, pour simplifier, g = 10 m/s 2 , on obtient la hauteur maximale de 5 m Rajoutons-y la hauteur du centre de gravité du sauteur (environ 1,10 m) qu'il est capable d'élever au dessus de la hauteur précédente pour franchir la barre, et on obtient 6,10 m. Le 20 mars 2022, Arnaud Duplantis a passé les 6,20 m. Sans doute a-t-il élevé son centre de gravité à plus de 1,10 m, avec une bonne impulsion au sommet. Mais il y a fort à parier, d'après les calculs rapides précédents, qu'on

L'OEIS est une base de données qui contient des centaines de milliers de suites numériques, chacune se voyant attribuer un numéro de série.  Elle est entièrement accessible par moteur de recherche : on peut rechercher une suite par sous-suite, par mot clé, ou par numéro de série. Chaque entrée propose les premiers termes de chaque suite, une ou des définitions, des références à des suites liées ou analogues, les motivations mathématiques, des liens vers la littérature, etc .  Voici par exemple la suite des nombres premiers, qui porte le numéro 40 : https://oeis.org/A000040 Les nombres entiers apparaissent plus ou moins fréquemment dans ces suites. L'image ci-dessus indique le  nombre d'occurrences dans la base de données de l'OEIS de chaque nombre entier. On y visualise le "fossé de Sloane" (Sloane est le créateur de l'Encyclopédie). En 2009, la base de données de l'OEIS a été utilisée par un amateur de mathématiques pour mesurer l'« intérêt » rela

Un livre de maths est le seul endroit où il est normal d'acheter 26 melons. Je vous laisse méditer là-dessus...

  Je dispose de cartes qui ont exactement un chiffre d'un côté et une lettre de l'autre. Je pose 4 de ces cartes sur la table. Vous voyez ceci : 7 E 1 A J'affirme maintenant que chacune de ces 4 cartes possède la propriété suivante :  De l'autre côté de A, il y a toujours 1. Quelles cartes devez-vous retourner pour le vérifier ? Je vous laisse méditer là-dessus...

  Disposez des points sur un cercle et reliez les tous par des segments de droite. Combien de régions sur le cercle allez-vous créer ? Avec deux points : 2 régions Avec 3 points : 4 régions Avec 4 points :  8 régions Avec 5 points : 16 régions  (voir figure ci-dessus) Combien avec 6 points ? 32 régions sans doute, n'est-ce pas ? Essayez... Alors ? Vous avez bien compté ? Pour en savoir plus : https://images.math.cnrs.fr/Demarrage-trompeur.html https://oeis.org/A000127

La probabilité pour qu'un événement A se produise sachant qu'un événement B s'est produit est la probabilité pour que A et B se produisent ensemble (A ∩ B), divisée par la probabilité de B. P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) Exemple : quelle est la probabilité pour qu'un dé à 6 faces affiche un chiffre impair sachant qu'il est inférieur à 4 ? P = (2/6)/(3/6) =2/3 Quand mon professeur de maths nous a présenté cette formule (c'était il y a longtemps), il a dit : "Quand on voit ça, on croit en Dieu." Il suffit toutefois de regarder le dessin ci-dessus pour comprendre sans invoquer un dieu. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour aller plus loin : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9_conditionnelle https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Bayes

  Si l'on jette trois pièces, quelle est la probabilité pour qu'elles retombent toutes du même côté (trois piles ou trois faces) ? Raisonnons... Comme il n'y a que deux côtés possibles pour chaque pièce, au moins deux des trois pièces retomberont du même côté : pile pile ou face face. Quant à la troisième pièce, elle a une chance sur deux d'être du même côté que les deux autres. Conclusion : quand on jette trois pièces, elles ont une chance sur deux de retomber toutes les trois du même côté. Convaincant, non ? Sauf que c'est faux... Essayez et vous verrez que cela n'arrive réellement que dans un quart des cas. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent en savoir plus : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_trois_pi%C3%A8ces_de_monnaie

  Le flocon de Koch est lui aussi une fractale. Sa construction infinie est initiée sur l'image ci-dessus. Sa dimension est log 4 / log 3 soit environ 1,26. Son périmètre est infini mais sa surface est finie. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent en savoir plus  : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Flocon_de_Koch

  Le triangle de Sierpiński est une figure "pleine de trous" qui n'est pas tout à fait une surface (dimension 2) ni tout à fait un ensemble de lignes (dimension 1).   Cette fractale a pour dimension log 3 / log 2 soit environ 1,585. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour en savoir plus : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Triangle_de_Sierpi%C5%84ski

  On ne peut pas avancer si on n'est pas subversif. Laurent Schwartz Je vous laisse méditer là-dessus...

Hugo Duminil-Copin vient de recevoir la plus haute distinction pour un mathématicien : la médaille Fields. C'est la 13 e pour un Français. Pour en savoir plus : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9daille_Fields https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Hugo_Duminil-Copin https://www.lefigaro.fr/sciences/avec-trois-autres-mathematiciens-le-francais-hugo-duminil-copin-remporte-la-medaille-fields-20220705

  Un plat et un dessert valent ensemble 15 euros. Le plat vaut 10 euros de plus que le dessert. Combien vaut le dessert ? Vous êtes sûr de vous ? Je vous laisse méditer là-dessus...

  Contrairement à "jadis", "naguère" ne veut pas dire "il y a longtemps", mais "il y a peu de temps". C'est la contraction de "il n'y a guère" (de temps). Je vous laisse méditer là-dessus...

  Un lustre n'est pas seulement un luminaire mais aussi une durée qui correspond à 5 ans exactement. Je vous laisse méditer là-dessus...

  Un bateau qui se déplace laisse derrière lui un sillage en V dont l'angle au sommet fait environ 39 degrés quelle que soit sa vitesse. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent aller plus loin : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Sillage_de_Kelvin

Voici comment font les jardiniers pour tracer une ellipse à l'intérieur de laquelle ils feront un massif de fleurs. Deux piquets et une ficelle suffisent. Cette illustration est issue de ce site : https://apmeplorraine.fr/spip.php?article48 Je vous laisse méditer là-dessus..