Le blog d'Olivier Lamy

  Considérons le chiffre a = 0,999999...  On multiplie des deux côtés par 10 : 10 a = 9,99999... (multiplier par 10, c'est déplacer la virgule d'un chiffre vers la droite) On retire 9 des deux côtés : 10 a - 9 = 0,99999...  On reconnaît a, à droite : 10 a - 9 = a On passe 9 à droite et a à gauche , en changeant les signes, comme on a appris à l'école : 10 a - a = 9 On factorise (10-1) a = 9  Finalement 9 a = 9  donc a = 1 0,9999999... = 1 Je vous laisse méditer là-dessus...  

  Paver le plan avec des polygones réguliers n'est possible qu'avec des triangles isocèles, des carrés ou des hexagones réguliers. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour aller plus loin : https://fr.wikipedia.org/wiki/Pavage_par_des_polygones_r%C3%A9guliers

  Si vous avez plus de paires de chaussettes que de tiroirs, alors après rangement, un tiroir contiendra au moins deux paires. Je vous laisse méditer là-dessus...

  111 111 111² = 12345678987654321 Renversant, non ? Je vous laisse méditer là-dessus...

  L'échelle des degrés Fahrenheit diffère de celle des degrés celsius. Mais quand  il fait -17 degrés dehors, tout le monde est d'accord car... -17°C = -17 ° F Je vous laisse méditer là-dessus... Pour en savoir plus : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Degr%C3%A9_Fahrenheit

Voici ce qu'on peut lire dans Wikipédia concernant le gogol : En mathématiques , un   gogol   (parfois orthographié   googol ) est l'entier naturel  dont la représentation décimale  s'écrit avec le chiffre 1 suivi de 100 zéros   (soit   10 100 )  : Visualisation d'un gogol. 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Le mot gogol est cité pour la première fois en anglais, googol, par le mathématicien américain Edward Kasner dans son livre Mathematics and the Imagination (« Les mathématiques et l'imagination ») paru en 1938. Kasner aurait demandé à son neveu Milton Sirotta, un enfant alors âgé de 9 ans, de baptiser le nombre qu'il venait de créer. Il lui aurait répondu simplement : « Googol ». La société Google s'appelle ainsi en référence à ce nombre. Si vous voulez faire mieux que Google, vous pouvez appeler votre société gogolplex,...

  Selon wikipédia : L'obélus « ÷ », forme primitive de l’obèle †, qui ressemble au signe plus, est un signe utilisé en mathématiques pour signifier la division. Un astérisque (nom masculin, du latin médiéval asteriscus, qui vient lui-même du grec ancien ἀστερίσκος, asterískos, « petite étoile ») est un symbole typographique ressemblant à une étoile : « * ».  L'astérisque est aussi le signe utilisé en informatique pour signifier la multiplication. Astérisque et Obélus, ça ne vous rappelle rien ? Je vous laisse méditer là-dessus...

  Non, rien d'étonnant vu que, pour constater la vie, il faut des observateurs vivants ! Je vous laisse méditer là-dessus...

  Prenez un jeu de 52 cartes et mélangez-le avec soin. Vous avez créé quelque chose d'unique dans le temps et dans l'espace. Une première ! Il y a tellement de mélanges possibles qu'il n'y a quasiment aucune chance que celui que vous venez de créer ait été produit avant vous, par qui que ce soit sur la Terre, ni même par toute entité intelligente extraterrestre qui aurait eu un jeu de cartes, depuis le début l'univers. Je vous laisse méditer là-dessus...

  Vous êtes-vous déjà demandé pourquoi une feuille A4 faisait 21 cm de largeur et 29,7 cm de hauteur ? C'est le résultat de plusieurs contraintes : Le A0 fait exactement 1 m 2 . Chaque format se déduit du précédent en le coupant en deux au milieu de sa hauteur. Ils ont tous les mêmes proportions. Posez toutes les équations et vous obtiendrez que les dimensions du A4 sont celles attendues.  Hauteur = 2 -7/4  x 100 cm = 29,73017788... cm Largeur = 2 -9/4  x 100 cm = 21,02241038... cm Surface = 0,0625 m 2 Notez que la proportion de tous ces formats est  Longueur / Largeur = √2 = 1,4142135623731...   Je vous laisse méditer là-dessus...

  S'il faut trois hommes pour débroussailler trois hectares en trois jours, combien en faut-il pour débroussailler un hectare en une journée ? Je vous laisse méditer là-dessus...

  J'ai toujours bien aimé cette multiplication : 1089 × 9 = 9801 Vous voyez pourquoi ? Je vous laisse méditer là-dessus... 

Hier, nous avons parlé du jeu de Marienbad, alias jeu de Nim. Voici un autre jeu dont je ne connais pas le nom mais qui, lui aussi, offre une stratégie gagnante à l'un des joueurs. Cette fois, les allumettes sont sur une seule rangée. Chaque joueur peut, à son tour, retirer 1, 2 ou 3 allumettes. Celui qui retire la dernière a perdu. Le joueur qui a une stratégie gagnante dépend du nombre d'allumettes de départ. Si c'est un multiple de 5, alors c'est le deuxième joueur, sinon c'est le premier. Voyez-vous la stratégie ? S'il y a 5 allumettes au départ, elle est évidente et vous la trouverez sans peine. S'il y en a plus, raisonnez par paquets de 5 et la stratégie vous apparaîtra. Je vous laisse méditer là-dessus...

  Le jeu de Marienbad s'appelle ainsi parce qu'il apparaît dans le film d'Alain Resnais "L'année dernière à Marienbad". On parle aussi du jeu de Nim. Il se joue avec 16 allumettes disposées initialement en 5 rangées qui contiennent 1, 3, 5 et 7 allumettes : A tour de rôle, chaque joueur retire autant d'allumettes qu'il veut, pourvu qu'elles soient dans la même rangée. Celui qui retire la dernière a perdu. Comme dans tous les jeux de ce type, il existe une stratégie gagnante. En l'occurrence, elle est accessible au joueur qui joue en deuxième. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent connaître cette stratégie : https://fr.wikipedia.org/wiki/Jeu_de_Marienbad

Alain détient une info. Bernard a la même info et il sait qu'Alain a l'info. Alain sait que Bernard sait qu'il sait mais il ne sait pas si Alain a l'info. Bernard se demande si Alain sait qu'il sait qu'il sait. Et Alain ne sait pas si Bernard sait qu'il sait qu'il sait qu'il sait.   Tout cela doit se modéliser très bien. Quelqu'un a une proposition ?   Je vous laisse méditer là-dessus...

  Cet article est lié à celui-ci : https://olivierlamy.blogspot.com/2022/05/sommes-assez-facile.html Quels sont tous les entiers que vous pouvez écrire comme somme de 3 et 5 ? (autant qu'on veut de chaque, éventuellement aucun) Réponse : tous sauf 1, 2, 4, 7. A vous de voir si, comme moi, vous comptez 0 comme somme de zéro trois et zéro cinq. Je vous laisse méditer là-dessus...

Les suites de Syracuse sont définies de la manière suivante : On part d'un entier positif non nul et, chaque fois, pour déterminer le nombre suivant, on procède ainsi : S'il est pair on le divise par 2 ; S'il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. Partons de 3 par exemple : 3 => 3 x 3 + 1 = 10 => 10/2 = 5 => 3 x 5 + 1 = 16 => 8 => 4 => 2 => 1 => 4 => 2 => 1... Avez-vous vu ce qui arrive ? On tombe sur un cycle : 1, 4, 2, 1, 4, 2 ,1 ... On suppose que toutes les suites de Syracuse tombent sur ce cycle . Mais on ne sait pas le prouver. Si vous y parvenez, vous serez célèbre ! Je vous laisse méditer là-dessus... Pour aller plus loin : https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/la-conjecture-de-syracuse-elementaire-mais-redoutable-16713.php

Un nombre parfait est un nombre qui est la somme de ses diviseurs stricts (un diviseur strict d'un entier n est un diviseur différent de n). Ainsi, 6 est un nombre parfait car 6 = 3 + 2 + 1 et que 3, 2, 1 sont tous les diviseurs stricts de 6. On a montré qu'un nombre pair est parfait si et seulement s'il est de la forme : 2 p-1 (2 p  − 1) avec 2 p  − 1 premier et  p premier. On connaît 51 nombres parfaits pairs qui correspondent aux 51 nombres de Mersenne premiers connus (ceux à la fois premiers et de la forme 2 p − 1 où p est premier). 28 et 496 sont les suivants, après 6. Vous pouvez vérifier. On ignore s'il existe un nombre parfait impair. Si vous en trouvez un, vous serez célèbre. Sachez toutefois qu'un tel nombre, s'il existe, est a priori très grand (vraiment très très grand). Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent aller plus loin : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nombre_parfait https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Mersenne_premi...

  Nous sommes familiers de nombres avec une infinité de chiffres à droite de la virgule. Par exemple  0,111111... qui vaut 1/9 Et si on imaginait des nombres qui ont une infinité de chiffres à gauche de la virgule ? Par exemple ...13121110987654321 Ou ...44334433443344,2211 Ou . ..295141,3 (j'ai envie de l'appeler ip, vous voyez pourquoi ?) Ou encore le nombre ...99999 composé d'une infinité de 9 vers la gauche. Attardons-nous sur celui-ci et appelons-le a. Ajoutons-lui 1, pour voir. Avec les règles habituelles des retenues dans les sommes, nous obtenons (essayez, vous verrez) : a + 1 = 0 donc a = -1 Étrange, non ? Ces nombres ne semblent finalement pas voués à un grand avenir. Et pourtant, si ! On les appelle nombres décadiques et on peut les manipuler de manière tout à fait cohérente. Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent aller plus loin : http://alain.pichereau.pagesperso-orange.fr/brenom.html

Avec un escalier prévu pour la montée, on réussit souvent à monter plus bas qu'on ne serait descendu avec un escalier prévu pour la descente. Je vous laisse méditer là-dessus...  

  Si vous observez votre reflet dans un miroir et que vous bougez la main droite, votre reflet agitera la main gauche : le miroir inverse la gauche et la droite. Mais alors, pourquoi n'inverse-t-il pas le haut et le bas ? Je vous laisse méditer là-dessus...

Cette formule est magnifique. C'est l'identité d'Euler. Elle relie 0, 1, π , e et i, les piliers de l'addition, de la multiplication, de la géométrie, de l'exponentiation, des nombres imaginaires ! Pour ceux qui veulent aller plus loin : https://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_d%27Euler

  Sur votre bureau, vous trouvez une feuille avec un cercle tracé dessus. A côté de la feuille, il y a le compas qui a sans doute servi à tracer le cercle. Mais sa pointe n'a laissé aucune trace sur la feuille, au niveau du centre du cercle, et son ouverture ne correspond plus au rayon du cercle tracé. Il existe une méthode pour retrouver le centre d'un cercle avec uniquement un compas. La légende dit que Napoléon l'a inventée. Ferez-vous aussi bien que lui ?   Pour ceux qui veulent aller plus loin : https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Napol%C3%A9on

Quand vous divisez par 2 la taille de quelque chose vous divisez à la fois sa hauteur, sa largeur et sa longueur par 2, et donc son volume par 8. Les sauterelles sautent loin par rapport à leur taille, mais ce n'est donc pas si admirable que ça par rapport à leur poids... Vous m'avez suivi ? Je vous laisse méditer là-dessus...

  Quels sont tous les entiers que vous pouvez écrire comme somme de 3, de 5 et de 7 ? (autant qu'on veut de chaque, éventuellement aucun). Réponse : tous sauf 1, 2, 4. A vous de voir si, comme moi, vous comptez 0 comme somme de zéro trois, zéro cinq et zéro sept. Je vous laisse méditer là-dessus...

  Voici un moyen amusant d'approximer le nombre pi. Pour cela, il vous faut : un parquet composé de lattes parallèles toutes de même largeur, une fine baguette de longueur identique à la largeur des lattes, de la patience. Jetez la baguette par terre à de nombreuses reprises (disons N fois) et comptez le nombre de fois où la baguette est à cheval sur deux lattes (disons que ce nombre est C). Si N est très grand, alors 2N/C est très proche de pi. Vous pouvez aussi tester sans parquet ni baguette en allant sur ce lien : https://experiences.mathemarium.fr/Calcul-de-Pi-avec-des-aiguilles-et.html je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent aller plus loin : https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon

  Si des extra-terrestres bâtissent en ce moment des mathématiques, alors leur construction intellectuelle est en tout point semblable à celle des mathématiciens humains. Parce qu'on ne crée pas les maths.  On découvre humblement le  monde de la Mathématique qui existe indépendamment de ses découvreurs. Je vous laisse méditer là-dessus...

  Les maths sont utiles. Sans maths, pas d'imagerie médicale, pas de téléphone, pas d'Internet, pas de système bancaire... Chacun n'a pas besoin de les comprendre pour autant.  Tout comme l'art, on n'a pas besoin de les aimer non plus. Mais si on ne les comprend pas ou si on ne les aime pas, on passe à côté de belles choses. Je vous laisse méditer là-dessus... 

  Imaginez un village coupé en deux par une rivière.  Rive droite on est (très) riche,  et rive gauche on est (très) pauvre. La différence est d'ailleurs telle que le moins riche de la rive droite est plus riche que le moins pauvre de la rive gauche. Vous me suive z ? Imaginez maintenant que cette personne quitte la rive droite et s'installe sur la rive gauche. Le niveau de richesse moyen de chaque rive va alors augmenter. Étonnant, non ? Pour ceux qui veulent aller un peu plus loin : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A9nom%C3%A8ne_de_Rogers

  On considère les trois dés à 6 faces suivants : Le dé A porte les numéros 2,2,4,4,9,9 Le dé B a les numéros 1,1,6,6,8,8 Le dé C a les numéros 3,3,5,5,7,7 A gagne contre B dans 5 cas sur 9 :  2>1, 4>1, 9>1, 9>6, 9>8 B gagne contre C dans 5 cas sur 9 :  6>3, 6>5, 8>3, 8>5, 8>7 Et C gagne contre A dans 5 cas sur 9 : 3 >2, 5>2, 5>4, 7>2, 7>4 Finalement, A>B>C>A A serait-il donc plus fort que A ? Je vous laisse méditer là-dessus... Pour ceux qui veulent aller plus loin : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9s_non_transitifs

  Perturbant, non ? Cette illusion est due à Roger Shepard. Je vous laisse méditer là-dessus...