Un paradoxe tout simple (moyennement difficile)
Soit A l’ensemble des ensembles qui sont éléments d’eux-mêmes :
A = {E | E ∈ E}
Remarque : qu’un ensemble soit élément de lui-même peut choquer.
Qu’à cela ne tienne ! On peut toujours se réserver le droit de penser que A est vide.
Soit B l’ensemble des ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes.
B = {E | E ∉ E}
Un ensemble est soit élément de A, soit élément de B, mais pas des deux.
Mais alors, où est B ?
Supposons que B est élément de A.
Alors B est élément de lui-même (c’est la définition des éléments de A).
Donc B est élément de B. Impossible ! Puisqu’il est élément de A.
Supposons maintenant que B est élément de B.
Alors B n’est pas élément de lui-même (c’est la définition des éléments de B).
Il n’est donc pas dans B. impossible.
Aïe !
Pour ceux qui veulent en savoir plus, allez ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell
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