Que contient ce coffre ? (moyennement difficile)
Il existe de nombreuses phrases mathématiques qui s'écrivent de la manière suivante :
"Tout entier vérifie une certaine propriété".
Parfois, elles sont faciles à démontrer, comme celle-ci :
La somme des n premiers entiers vaut n(n+1)/2
Elle permet de dire rapidement que
1 + 2 + 3 + 4 + .. .+ 100 = 5050
Impressionnant, non ?
Parfois, elles sont très difficiles comme celle-ci :
Tout entier pair supérieur à 3 est somme d'au plus deux nombres premiers.
Comme 30 = 13 + 17 par exemple
Essayez, vous verrez ! Vous ne trouverez pas de contre exemple.
Cette dernière affirmation, pourtant simple à énoncer, est très ardue et on n'est pas parvenu à la démontrer. On parle alors de conjecture : on croit que c'est vrai mais on ne sait pas démontrer. En l'occurrence, il s'agit de la conjecture de Goldbach.
Certaines de ces conjectures sont si difficiles à démontrer que certains, qui pourtant pensent qu'elles sont vraies, sont persuadés qu'elles ne sont pas démontrables.
Après tout, pourquoi pas ?
Il existe des choses vraies et non démontrables dans la vraie vie : un assassinat non élucidé, par exemple.
C'est pareil pour les maths.
Qu'en est-il de la conjecture de Goldbach ?
Si elle est fausse, alors il "suffit" de trouver un entier supérieur à 3 qui n'est pas somme de deux nombres premiers.
Pour cela, on peut parcourir les entiers un par un et tenter toutes les décompositions possibles.
Si la conjecture est fausse, fatalement on trouvera un tel entier non décomposable en deux entiers premiers.
Donc si elle est fausse, on peut démontrer qu'elle est fausse !
Ça prendra sans doute pas mal de temps, ceci dit... Mais sur le papier c'est possible en un temps fini (très très grand).
Supposons maintenant que la conjecture ne soit pas décidable (c'est-à-dire qu'on ne peut pas démontrer qu'elle est vraie ni qu'elle est fausse). Alors elle n'est pas fausse (sinon on pourrait démontrer qu'elle est fausse d'après ce qui précède). Donc elle est vraie.
C'est étrange n'est-ce pas ?
Si on montre qu'elle n'est pas décidable, c'est-à-dire si on montre qu'il est impossible de savoir si elle est vraie ou fausse, alors elle est vraie...
C'est un peu comme si vous aviez un coffre-fort devant vous qui soit est vide soit contient une grosse somme d'argent.
Si vous prouvez que personne ne sait l'ouvrir alors vous pouvez être sûr qu'il contient l'argent.
Mais tant que vous avez un doute sur son côté inviolable, alors quelqu'un l'ouvrira peut-être et... trouvera de l'argent, ou pas...
Je vous laisse méditer là-dessus...
Remarque : en 2013, Harald Helfgottf a démontré que tout entier impair > 5 est somme de trois nombres premiers ;-)
Pour ceux qui veulent aller plus loin :
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