Où est-elle ? (Suite)

 

Hier, j'ai posé une énigme dans un article. Elle concerne 12 billes d'apparence identique. Il faut trouver celle qui a un poids différent des autres en un minimum de pesées. On dispose d'une balance à plateaux pour cela.

https://olivierlamy.blogspot.com/2022/09/ou-est-elle-pas-facile.html

Voici la solution :

Nous allons effectuer trois pesées (pas une de plus !) et trouver la bille.

Assez incroyable, non ?

Pour chaque pesée, on divise les billes en trois groupes numérotés 0, 1 et 2, comme ceci :

A chaque pesée, on met les quatre billes du groupe 0 sur un plateau et les quatre billes du groupe 2 sur l'autre. On note ensuite le résultat ainsi :

• si la balance penche du côté du groupe 0, on écrit 0,
• si elle est en équilibre, on écrit 1,
• si elle penche du côté du groupe 2, on écrit 2.

A l'issue des trois pesées, vous obtenez un triplet composé de 0, 1 et 2 décrivant ce qui s'est passé.

Par exemple :  1 2 1

Recherchez alors le triplet dans le tableau ci-dessus.

Si vous le trouvez, la ligne correspondante indique la bille différente. Cerise sur le gâteau : vous savez qu’elle est plus lourde que les autres.

Dans notre exemple 1 2 1 => ligne 8. La bille 8 est plus lourde que les autres

Si vous ne la trouvez pas, c'est que la bille n'est pas plus lourde que les autres mais au contraire plus légère. 

A chaque pesée, au lieu de noter le groupe le plus lourd (dans lequel la bille n'est jamais), vous auriez dû noter le groupe le plus léger dans lequel elle est toujours. Qu'à cela ne tienne ! Remplacez dans votre triplet les 0 par des 2 et les 2 par des 0 et recommencez à chercher dans le tableau.

Par exemple 0 1 2 => pas trouvé => 0 2 1

Cette fois vous trouverez et la ligne correspondant à votre triplet permuté est celle de la bille différente qui est plus légère !

Dans notre exemple 0 2 1 => ligne 7. La bille 7 est plus légère que les autres.

En trois pesées, on peut, non seulement trouver la bille, mais aussi savoir si elle plus lourde ou plus légère. Testez !

Pour terminer, un commentaire sur le tableau de triplets décrivant les groupes par pesée :

Les contraintes pour le créer sont :

• chaque ligne est unique,
• il y a quatre 0, quatre 1 et quatre 2 dans chaque colonne,
• si on permute 2 et 1 dans un des triplets, on obtient un triplet qui n'est pas présent dans le tableau.

Pas facile de trouver une solution (essayez), mais le tableau ci-dessus satisfait toutes ces contraintes.

Je vous laisse méditer là-dessus...