Poupées gigognes (moyennement difficile)

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Considérez la suite ainsi définie :

On écrit 01. C'est le début.

On prend la suite "miroir" en changeant les 1 en 0 et vice versa : ça donne 10

On la colle à la suite du début : on obtient 0110

On prend de nouveau la suite miroir : 1001

Et on la colle de nouveau à la suite : 01101001

Et ainsi de suite :

0110100110010110...

Maintenant considérez les deux suites extraites de la précédente :

  • Suite 1 : on commence par le 1er terme (0) puis on retient un terme sur deux : 01101001... C'est la même suite !
  • Suite 2 : on commence par le 2e terme (1) puis on retient un terme sur deux : 10010110... C'est la suite miroir !

La suite se contient elle-même et elle contient son miroir.

Cette suite a bien d'autres propriétés. Pour ceux qui veulent aller plus loin :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Prouhet-Thue-Morse

https://oeis.org/A010060


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